Pöördülesannete ja stohhastiliste meetodite uurimisrühm

Nimetus
Inverse problems and stochastic methods research group
Uurimisrühma juht
Seotud struktuuriüksus
Küberneetika instituut
Department of cybernetics
Klassifikaator (Frascati)
Ülevaade
Peamised uurimissuunad: • Pöördülesanded murrulisi tuletisi sisaldavatele võrranditele. Uuritakse pöördülesandeid lineaarsetele ja mittelineaarsetele murruliste tuletistega diferentsiaalvõrranditele. Ülesannetes on otsitavateks suurusteks koefitsiendid, allikafunktsioonid ja üldistatud murrulistes tuletistes sisaduvad tuumad. Taolised ülesanded tekivad difusiooni ja mehaaniliste protsesside modelleerimisel poorsetes, fraktaalsetes ja bioloogilistes keskkondades. Käsitletakse nii teoreetilisi aspekte kui ka lahendusmeetodeid. • Hajumise otsesed ja pöördülesanded singulaarsetes ja mittlokaalsetes keskkondades. Teostatakse uuringuid elektromagnetilise ja akustilise hajumise ja pöördhajumise alal singulaarsusi ja mittelokaalsusi sisaldavates keskkondades. Arendatakse multipoolsete antennide matemaatilist teooriat. Seda suunda täiendavad uuringud signaalitöötluse alal, mis baseeruvad modernsetel numbrilistel meetoditel suureskaalaliste pöördülesannete jaoks. Uuritakse pöördülesandeid mittelokaalsete omadustega keskkondades sisalduvate mittehomogeensuste määramiseksrajapindadel mõõdetud hajunud lainete baasil. • Mitteparameetriliste statistiliste meetodite väljatöötamine. Arendatakse mitteparameetriliste statistiliste meetodite aluseks olevat matemaatilist aparatuuri ja rakendatakse neid meetodeid keskkonna- ja ehitustehnikas.
The main directions of research are:‚ Inverse problems for equations containingfractional derivatives. Inverse problemsfor linear and nonlinear fractional differential equations are studied. The unknowns to be determined are coefficients,source terms and kernels of generalizedfractional time derivatives. Such problemsoccur in modelling of diffusion and mechanical processes in porous, fractal andbiological media. The research is focusedon both theoretical aspects and elaborationof numerical methods.‚ Direct and inverse scattering in singularand nonlocal media. Electromagnetic andacoustic direct and inverse scatteringin media with singularities or non-localfeatures is studied. Mathematical theory of tripole and more general multipoleantennas is developed. This branch iscomplemented by a development of newsignal processing on state-of-the-art computational methods for large-scale inverseproblems. Inverse problems to reconstructin homogeneities of media with non-localproperties by means of measurements ofscattered acoustic waves at boundariesare investigated.‚ Elaboration of nonparametric statisticalmethods. The theory of nonparametricstatistical methods is developed and thesemethods are applied in environmental andbuilding engineering.
Võtmesõna
pöördülesanded
inverse problems
murruline difusioon ja lainelevi
fractional diffusion and wave motion
hajuvus ja pöördhajuvus
direct and inverse scattering
mitteparameetriline statistika
nonparametric statistics
Tähtsamad tulemused
Olulisemad tulemused 2023: • Realiseerisime mõned uued ideed ekraanidelt hajumise pöördülesannete kohta Eukleidilstes ruumides, sh ühe passivse mõõtmisega ülesande kohta. Selles ülesandes on laine generaator fikseeritud kohas ja konstantse energiaga lainet genereeritakse erinevates suundades. Matemaatiliselt on kaugväli teada ainult ühe saabuva laine ja lainearvu korral. Lahendasime selle ülesande meetodiga, mis võib olla rakendatav ka paljude teiste samalaadsete ülesannete korral. Teoreetiliselt kasutab saadud tulemus Mellini, Fourier ja Hilberti teisenduste omavahelisi seoseid (koostöös P. Olaga Helsingi Ülikoolist).• Tõestasime, et juhul; kui mittelokaalse superdifusioonivõrrandi (murrulise lainevõrrandi) lahend on etteantud lõpphetke vasakpoolses ümbruses, siis on võimalik lisaks allikafunktsiooni varasematele väärtustele määrata ka võrrandis esinev operaator ja tuletise tuum juhul, kui allikafunktsioon on lõppehetke lähedal mitteanalüütiline funktsioon, mis rahuldab teatud spetsiifilisi tingimusi.
Main results of 2021:‚ We proved that an energy of a far-fieldpattern scatted from a corner has alwaysa positive lower bound. This implies theimpossibility of invisibility cloaking of anobject with corners.‚ We proved that a solution of the fractionaldiffusion-wave equation can be uniquelyrestored by means of final data providedboundary conditions are given in an arbitrarily small neighborhood of the finalvalue.